Segment Tree 基础操作

• Segment Tree 是一个 Full Binary Tree，每个节点子节点数量为 0 或 2.

• 给定含 n 个元素的数组区间，对应的 Segmeng Tree 节点数量最多为 2n - 1.

• Build O(n)

• Update O(log n)

• Query O(log n)

• 偶数长度区间会拆出两个偶数OR奇数长度区间；奇数长度区间会拆出一个偶数+一个奇数长度区间， 最终以长度为 1 的区间为叶节点。

Segment Tree Build

比较基本，就是很普通的建二叉树。

public class Solution {
    /**
     *@param start, end: Denote an segment / interval
     *@return: The root of Segment Tree
     */
    public SegmentTreeNode build(int start, int end) {
        // write your code here
        if(start > end) return null;
        SegmentTreeNode root = new SegmentTreeNode(start, end);
        if(start == end) return root;
        int mid = start + (end - start) / 2;
        root.left = build(start, mid);
        root.right = build(mid + 1, end);

        return root;
    }
}

Segment Tree Build II

这个例子更具有实际意义一点，因为这个建出来的 Segment Tree 已经可以用了。

• 对于给定无序数组，Segment Tree 可以利用递归在 O(n) 时间建立。

• Segment Tree 总共节点个数为 2n - 1，建立每个节点操作时间为 O(1).

• 另一个角度看的话，总共有 n 个叶节点，那么对应的 perfect binary tree 总节点个数就是 2n - 1.

• 结构和 quick sort / merge sort 非常类似，每一层包含的所有区间覆盖整个数组。

/**
 * Definition of SegmentTreeNode:
 * public class SegmentTreeNode {
 *     public int start, end, max;
 *     public SegmentTreeNode left, right;
 *     public SegmentTreeNode(int start, int end, int max) {
 *         this.start = start;
 *         this.end = end;
 *         this.max = max
 *         this.left = this.right = null;
 *     }
 * }
 */
public class Solution {
    /**
     *@param A: a list of integer
     *@return: The root of Segment Tree
     */
    public SegmentTreeNode build(int[] A) {
        // write your code here
        return buildHelper(A, 0, A.length-1);
    }
    public SegmentTreeNode buildHelper(int[] A, int start, int end){
        if(start>end)
            return null;
        if(start == end)
            return new SegmentTreeNode(start, end, A[start]);
        int mid = start + (end-start)/2;
        SegmentTreeNode root = new SegmentTreeNode(start, end, A[start]);
        root.left = buildHelper(A, start, mid);
        root.right = buildHelper(A, mid+1, end);
        root.max = Math.max(root.left.max, root.right.max);
        return root;
    }
}

Segment Tree Modify

第一次写的时候翻了个错误，只考虑了改的值变大，更新新的 max 的情况，而没考虑更新的值可能是原来某个区间节点的 max，变小之要更新整个到 Root 路径的 max.

犯了同样的错, preorder 更新 root.max = Math.max(root.max, value), 没有考虑到新val替换以前的max, root.max需要重新生成

• 每次 update 都是一次 top-down 的递归，实际更新是由最小的区间单位 bottom-up 一直到 root 的路径更新。

public class Solution {
    /**
     *@param root, index, value: The root of segment tree and 
     *@ change the node's value with [index, index] to the new given value
     *@return: void
     */
    public void modify(SegmentTreeNode root, int index, int value) {
        // write your code here
        if(root==null || index<root.start || index>root.end) return;
        if(root.start==index && root.end==index){
            root.max = value;
            return;
        }
        int mid = root.start + (root.end-root.start)/2;
        if(index<=mid)
            modify(root.left, index, value);
        else
            modify(root.right, index, value);
        root.max = Math.max(root.right.max, root.left.max);
    }
}

Segment Tree Query

对于区间覆盖问题可以多画点图，考虑下所有可能的情况。+

对于每一层的查询，最多只会分裂成两个节点；

• 如果目标区间完全不在 root 的区间里，直接返回；

• 否则设有效查询区间为

  • max(root.start, query.start)
  • min(root.end, query.end)

• 处理下正确叶节点的位置，递归处理。

public class Solution {
    /**
     *@param root, start, end: The root of segment tree and 
     *                         an segment / interval
     *@return: The maximum number in the interval [start, end]
     */
    public int query(SegmentTreeNode root, int start, int end) {
        // write your code here
        if(end < root.start) return Integer.MIN_VALUE;
        if(start > root.end) return Integer.MIN_VALUE;

        start = Math.max(start, root.start);
        end = Math.min(end, root.end);

        if(start == root.start && end == root.end) return root.max;

        int left = query(root.left, start, end);
        int right = query(root.right, start, end);

        return Math.max(left, right);
    }
}

Segment Tree Query II

这题和上一题没有任何区别。。你是想告诉我 TreeNode 里除了 max/min 还可以存 count 是吗。。。

public class Solution {
    /**
     *@param root, start, end: The root of segment tree and 
     *                         an segment / interval
     *@return: The count number in the interval [start, end]
     */
    public int query(SegmentTreeNode root, int start, int end) {
        // write your code here
        if(root==null||end<root.start||start>root.end) return 0;
        start = Math.max(start, root.start);
        end = Math.min(end, root.end);
        if(start == root.start && end==root.end) return root.count;
        int left = query(root.left, start, end);
        int right = query(root.right, start, end);
        return left+right;
    }
}